{l}{2x+3y=53}{3x-y=19} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 53 } \\ { 3 x - y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=11$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=53$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+53$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+53\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+53 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+53}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-y=19.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}\right)-y=19$$

3 санын \frac{-3y+53}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{159}{2}-y=19$$

-\frac{9y}{2} санын -y санына қосу.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{159}{2}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{159}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{121}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=11$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2} теңдеуінде 11 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 11+\frac{53}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 11 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-33+53}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{53}{2} бөлшегіне -\frac{33}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=11$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 53+\frac{3}{11}\times 19\\\frac{3}{11}\times 53-\frac{2}{11}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=11$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 53,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$6x+9y=159,6x-2y=38$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-2y=38 мәнін 6x+9y=159 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+9y+2y=159-38$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y+2y=159-38$$

9y санын 2y санына қосу.

$$11y=159-38$$

159 санын -38 санына қосу.

$$11y=121$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=11$$

3x-y=19 теңдеуінде 11 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-11=19$$

Теңдеудің екі жағына да 11 санын қосыңыз.

$$3x=30$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=11$$