{l}{2x+3y=5}{7x=4y-2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$7x-4y=-2$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-4y=-2.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

7 санын \frac{-3y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

-\frac{21y}{2} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{35}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{39}{29}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{39}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{39}{29} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{117}{58} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{14}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$7x-4y=-2$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$7x-4y=-2$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

2x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 14x-8y=-4 мәнін 14x+21y=35 мәнінен алып тастаңыз.

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

14x санын -14x санына қосу. 14x және -14x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y+8y=35+4$$

21y санын 8y санына қосу.

$$29y=35+4$$

35 санын 4 санына қосу.

$$29y=39$$

Екі жағын да 29 санына бөліңіз.

$$y=\frac{39}{29}$$

7x-4y=-2 теңдеуінде \frac{39}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

-4 санын \frac{39}{29} санына көбейтіңіз.

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{156}{29} санын қосыңыз.

$$7x=\frac{98}{29}$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{14}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$