{l}{2x+3y=5}{3x+12y=70} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+12y=70.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

3 санын \frac{-3y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

-\frac{9y}{2} санын 12y санына қосу.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{15}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{25}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{25}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{25}{3} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{25}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

Қысқартыңыз.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+24y=140 мәнін 6x+9y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-24y=15-140$$

9y санын -24y санына қосу.

$$-15y=15-140$$

15 санын -140 санына қосу.

$$-15y=-125$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{3}$$

3x+12y=70 теңдеуінде \frac{25}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

12 санын \frac{25}{3} санына көбейтіңіз.

$$3x+100=70$$

Теңдеудің екі жағынан 100 санын алып тастаңыз.

$$3x=-30$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$