{l}{2x+3y=465}{5x-7y=75} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 465 } \\ { 5 x - 7 y = 75 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=120$$

$$y=75$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=465$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+465$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+465\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+465 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+465}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-7y=75.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}\right)-7y=75$$

5 санын \frac{-3y+465}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{2325}{2}-7y=75$$

-\frac{15y}{2} санын -7y санына қосу.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{2325}{2}=75$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2325}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{2175}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=75$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2} теңдеуінде 75 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 75+\frac{465}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 75 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-225+465}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{465}{2} бөлшегіне -\frac{225}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=120$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=120,y=75$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-3\times 5}&-\frac{3}{2\left(-7\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-3\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 465+\frac{3}{29}\times 75\\\frac{5}{29}\times 465-\frac{2}{29}\times 75\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\75\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=120,y=75$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 465,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 75$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=2325,10x-14y=150$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-14y=150 мәнін 10x+15y=2325 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y+14y=2325-150$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y+14y=2325-150$$

15y санын 14y санына қосу.

$$29y=2325-150$$

2325 санын -150 санына қосу.

$$29y=2175$$

Екі жағын да 29 санына бөліңіз.

$$y=75$$

5x-7y=75 теңдеуінде 75 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-7\times 75=75$$

-7 санын 75 санына көбейтіңіз.

$$5x-525=75$$

Теңдеудің екі жағына да 525 санын қосыңыз.

$$5x=600$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=120$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=120,y=75$$