{l}{2x+3y=4}{3x+4y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=14$$

$$y=-8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y=10.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+4y=10$$

3 санын -\frac{3y}{2}+2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}y+6+4y=10$$

-\frac{9y}{2} санын 4y санына қосу.

$$-\frac{1}{2}y+6=10$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{2}y=4$$

Екі жағын да -2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-8$$

x=-\frac{3}{2}y+2 теңдеуінде -8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)+2$$

-\frac{3}{2} санын -8 санына көбейтіңіз.

$$x=12+2$$

2 санын 12 санына қосу.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=-8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 4+3\times 10\\3\times 4-2\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=14,y=-8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 4y=2\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$6x+9y=12,6x+8y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+8y=20 мәнін 6x+9y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+9y-8y=12-20$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-8y=12-20$$

9y санын -8y санына қосу.

$$y=12-20$$

12 санын -20 санына қосу.

$$y=-8$$

3x+4y=10 теңдеуінде -8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\left(-8\right)=10$$

4 санын -8 санына көбейтіңіз.

$$3x-32=10$$

Теңдеудің екі жағына да 32 санын қосыңыз.

$$3x=42$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=-8$$