{l}{2x+3y=24}{5x+6y=120} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 24 } \\ { 5 x + 6 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=72$$

$$y=-40$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=24,5x+6y=120$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+24$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+24\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+12 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+6y=120.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+6y=120$$

5 санын -\frac{3y}{2}+12 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+60+6y=120$$

-\frac{15y}{2} санын 6y санына қосу.

$$-\frac{3}{2}y+60=120$$

Теңдеудің екі жағынан 60 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{3}{2}y=60$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-40$$

x=-\frac{3}{2}y+12 теңдеуінде -40 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-40\right)+12$$

-\frac{3}{2} санын -40 санына көбейтіңіз.

$$x=60+12$$

12 санын 60 санына қосу.

$$x=72$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=72,y=-40$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=24,5x+6y=120$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\120\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\120\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\120\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 6-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-3\times 5}&\frac{2}{2\times 6-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\120\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\120\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 24+120\\\frac{5}{3}\times 24-\frac{2}{3}\times 120\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\-40\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=72,y=-40$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=24,5x+6y=120$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 24,2\times 5x+2\times 6y=2\times 120$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=120,10x+12y=240$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+12y=240 мәнін 10x+15y=120 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y-12y=120-240$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-12y=120-240$$

15y санын -12y санына қосу.

$$3y=120-240$$

120 санын -240 санына қосу.

$$3y=-120$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=-40$$

5x+6y=120 теңдеуінде -40 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+6\left(-40\right)=120$$

6 санын -40 санына көбейтіңіз.

$$5x-240=120$$

Теңдеудің екі жағына да 240 санын қосыңыз.

$$5x=360$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=72$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=72,y=-40$$