{l}{2x+3y=2}{5x+y=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{16}{13} = 1\frac{3}{13} \approx 1.230769231$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=2,5x+y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+y=6.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+y=6$$

5 санын -\frac{3y}{2}+1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+5+y=6$$

-\frac{15y}{2} санын y санына қосу.

$$-\frac{13}{2}y+5=6$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{13}{2}y=1$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{2}{13}$$

x=-\frac{3}{2}y+1 теңдеуінде -\frac{2}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{13}\right)+1$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{2}{13} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{13}+1$$

1 санын \frac{3}{13} санына қосу.

$$x=\frac{16}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=2,5x+y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 5}&-\frac{3}{2-3\times 5}\\-\frac{5}{2-3\times 5}&\frac{2}{2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{16}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=2,5x+y=6$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 2,2\times 5x+2y=2\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=10,10x+2y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+2y=12 мәнін 10x+15y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y-2y=10-12$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-2y=10-12$$

15y санын -2y санына қосу.

$$13y=10-12$$

10 санын -12 санына қосу.

$$13y=-2$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{2}{13}$$

5x+y=6 теңдеуінде -\frac{2}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-\frac{2}{13}=6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{2}{13} санын қосыңыз.

$$5x=\frac{80}{13}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{16}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{13},y=-\frac{2}{13}$$