{l}{2x+3y=2}{4x+16y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

4 санын -\frac{3y}{2}+1 санына көбейтіңіз.

$$-6y+4+16y=3$$

-6y санын 16y санына қосу.

$$10y+4=3$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$10y=-1$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{10}$$

x=-\frac{3}{2}y+1 теңдеуінде -\frac{1}{10} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{10} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

1 санын \frac{3}{20} санына қосу.

$$x=\frac{23}{20}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+32y=6 мәнін 8x+12y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-32y=8-6$$

12y санын -32y санына қосу.

$$-20y=8-6$$

8 санын -6 санына қосу.

$$-20y=2$$

Екі жағын да -20 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{10}$$

4x+16y=3 теңдеуінде -\frac{1}{10} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

16 санын -\frac{1}{10} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{8}{5} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{23}{20}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$