{l}{2x+3y=19}{4x+11y=53} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=19$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+19$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+19 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+19}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+11y=53.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

4 санын \frac{-3y+19}{2} санына көбейтіңіз.

$$-6y+38+11y=53$$

-6y санын 11y санына қосу.

$$5y+38=53$$

Теңдеудің екі жағынан 38 санын алып тастаңыз.

$$5y=15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{19}{2} бөлшегіне -\frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

Қысқартыңыз.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+22y=106 мәнін 8x+12y=76 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-22y=76-106$$

12y санын -22y санына қосу.

$$-10y=76-106$$

76 санын -106 санына қосу.

$$-10y=-30$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=3$$

4x+11y=53 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+11\times 3=53$$

11 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$4x+33=53$$

Теңдеудің екі жағынан 33 санын алып тастаңыз.

$$4x=20$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=3$$