{l}{2x+3y=12}{5x+4y=23} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 5 x + 4 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=12,5x+4y=23$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+6 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+4y=23.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+4y=23$$

5 санын -\frac{3y}{2}+6 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+30+4y=23$$

-\frac{15y}{2} санын 4y санына қосу.

$$-\frac{7}{2}y+30=23$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{2}y=-7$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{2}y+6 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

-\frac{3}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-3+6$$

6 санын -3 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=12,5x+4y=23$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\23\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 12+\frac{3}{7}\times 23\\\frac{5}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=12,5x+4y=23$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 12,2\times 5x+2\times 4y=2\times 23$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=60,10x+8y=46$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+8y=46 мәнін 10x+15y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y-8y=60-46$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-8y=60-46$$

15y санын -8y санына қосу.

$$7y=60-46$$

60 санын -46 санына қосу.

$$7y=14$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=2$$

5x+4y=23 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+4\times 2=23$$

4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$5x+8=23$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$5x=15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$