{l}{2x+3y=10}{4x+5y=42} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=38$$

$$y=-22$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

4 санын -\frac{3y}{2}+5 санына көбейтіңіз.

$$-6y+20+5y=42$$

-6y санын 5y санына қосу.

$$-y+20=42$$

Теңдеудің екі жағынан 20 санын алып тастаңыз.

$$-y=22$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=-22$$

x=-\frac{3}{2}y+5 теңдеуінде -22 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

-\frac{3}{2} санын -22 санына көбейтіңіз.

$$x=33+5$$

5 санын 33 санына қосу.

$$x=38$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=38,y=-22$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=38,y=-22$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Қысқартыңыз.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+10y=84 мәнін 8x+12y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-10y=40-84$$

12y санын -10y санына қосу.

$$2y=40-84$$

40 санын -84 санына қосу.

$$2y=-44$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-22$$

4x+5y=42 теңдеуінде -22 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

5 санын -22 санына көбейтіңіз.

$$4x-110=42$$

Теңдеудің екі жағына да 110 санын қосыңыз.

$$4x=152$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=38$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=38,y=-22$$