{l}{2x+2y=4}{3x-2y=12} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+2y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$2x=-2y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын -2y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+2$$

Басқа теңдеуде -y+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=12.

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

3 санын -y+2 санына көбейтіңіз.

$$-3y+6-2y=12$$

-3y санын -2y санына қосу.

$$-5y+6=12$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-5y=6$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{6}{5}$$

x=-y+2 теңдеуінде -\frac{6}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

-1 санын -\frac{6}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6}{5}+2$$

2 санын \frac{6}{5} санына қосу.

$$x=\frac{16}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-4y=24 мәнін 6x+6y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y+4y=12-24$$

6y санын 4y санына қосу.

$$10y=12-24$$

12 санын -24 санына қосу.

$$10y=-12$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{6}{5}$$

3x-2y=12 теңдеуінде -\frac{6}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

-2 санын -\frac{6}{5} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{12}{5} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{48}{5}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{16}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$