{l}{2x+1=y}{2y+2=x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 1 = y } \\ { 2 y + 2 = x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x+1-y=0$$

Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x-y=-1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$2y+2-x=0$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2y-x=-2$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=-1,-x+2y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=-1$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y-1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-1\right)$$

\frac{1}{2} санын y-1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-1+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+2y=-2.

$$-\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2y=-2$$

-1 санын \frac{-1+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+2y=-2$$

-\frac{y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{3}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{5}{3}$$

x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} теңдеуінде -\frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{3}\right)-\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{3} санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{5}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{5}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x+1-y=0$$

Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x-y=-1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$2y+2-x=0$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2y-x=-2$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=-1,-x+2y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{5}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x+1-y=0$$

Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x-y=-1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$2y+2-x=0$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2y-x=-2$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=-1,-x+2y=-2$$

2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-\left(-y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+y=1,-2x+4y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+4y=-4 мәнін -2x+y=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+y-4y=1+4$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-4y=1+4$$

y санын -4y санына қосу.

$$-3y=1+4$$

1 санын 4 санына қосу.

$$-3y=5$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{3}$$

-x+2y=-2 теңдеуінде -\frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+2\left(-\frac{5}{3}\right)=-2$$

2 санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз.

$$-x-\frac{10}{3}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10}{3} санын қосыңыз.

$$-x=\frac{4}{3}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{5}{3}$$