{l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

w, n мәнін табыңыз

$$w=1050$$

$$n=2950$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және w мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы w мәнін шешіңіз.

$$2w+n=5050$$

Теңдеудің екі жағынан n санын алып тастаңыз.

$$2w=-n+5050$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

\frac{1}{2} санын -n+5050 санына көбейтіңіз.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

Басқа теңдеуде -\frac{n}{2}+2525 мәнін w мәнімен ауыстырыңыз, 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

3 санын -\frac{n}{2}+2525 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

-\frac{3n}{2} санын 2n санына қосу.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

Теңдеудің екі жағынан 7575 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$n=2950$$

w=-\frac{1}{2}n+2525 теңдеуінде 2950 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, w мәнін тікелей таба аласыз.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

-\frac{1}{2} санын 2950 санына көбейтіңіз.

$$w=-1475+2525$$

2525 санын -1475 санына қосу.

$$w=1050$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$w=1050,n=2950$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

w және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$w=1050,n=2950$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

2w және 3w мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

Қысқартыңыз.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6w+4n=18100 мәнін 6w+3n=15150 мәнінен алып тастаңыз.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

6w санын -6w санына қосу. 6w және -6w мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3n-4n=15150-18100$$

3n санын -4n санына қосу.

$$-n=15150-18100$$

15150 санын -18100 санына қосу.

$$-n=-2950$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$n=2950$$

3w+2n=9050 теңдеуінде 2950 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, w мәнін тікелей таба аласыз.

$$3w+2\times 2950=9050$$

2 санын 2950 санына көбейтіңіз.

$$3w+5900=9050$$

Теңдеудің екі жағынан 5900 санын алып тастаңыз.

$$3w=3150$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$w=1050$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$w=1050,n=2950$$