{l}{2n-3m=1}{m+n=3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

n, m мәнін табыңыз

$$n=2$$

$$m=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және n мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы n мәнін шешіңіз.

$$2n-3m=1$$

Теңдеудің екі жағына да 3m санын қосыңыз.

$$2n=3m+1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

\frac{1}{2} санын 3m+1 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3m+1}{2} мәнін n мәнімен ауыстырыңыз, n+m=3.

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

\frac{3m}{2} санын m санына қосу.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$m=1$$

n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} теңдеуінде 1 мәнін m мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, n мәнін тікелей таба аласыз.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне \frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$n=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$n=2,m=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

n және m матрица элементтерін шығарыңыз.

$$n=2,m=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

2n және n мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2n+2m=6 мәнін 2n-3m=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

2n санын -2n санына қосу. 2n және -2n мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3m-2m=1-6$$

-3m санын -2m санына қосу.

$$-5m=1-6$$

1 санын -6 санына қосу.

$$-5m=-5$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$m=1$$

n+m=3 теңдеуінде 1 мәнін m мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, n мәнін тікелей таба аласыз.

$$n+1=3$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$n=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$n=2,m=1$$