{l}{2m+3n=22}{m-2n=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$2m+3n=22$$

Теңдеудің екі жағынан 3n санын алып тастаңыз.

$$2m=-3n+22$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

\frac{1}{2} санын -3n+22 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Басқа теңдеуде -\frac{3n}{2}+11 мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

-\frac{3n}{2} санын -2n санына қосу.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Теңдеудің екі жағынан 11 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=\frac{10}{7}$$

m=-\frac{3}{2}n+11 теңдеуінде \frac{10}{7} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{10}{7} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

11 санын -\frac{15}{7} санына қосу.

$$m=\frac{62}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

2m және m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2m-4n=12 мәнін 2m+3n=22 мәнінен алып тастаңыз.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

2m санын -2m санына қосу. 2m және -2m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3n+4n=22-12$$

3n санын 4n санына қосу.

$$7n=22-12$$

22 санын -12 санына қосу.

$$7n=10$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$n=\frac{10}{7}$$

m-2n=6 теңдеуінде \frac{10}{7} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

-2 санын \frac{10}{7} санына көбейтіңіз.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{20}{7} санын қосыңыз.

$$m=\frac{62}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$