{l}{2a+3d=8}{a+2d=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 d = 8 } \\ { a + 2 d = 5 } \end{array} \right.$$

a, d мәнін табыңыз

$$a=1$$

$$d=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2a+3d=8,a+2d=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$2a+3d=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3d санын алып тастаңыз.

$$2a=-3d+8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3d+8\right)$$

\frac{1}{2} санын -3d+8 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{3}{2}d+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{3d}{2}+4 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, a+2d=5.

$$-\frac{3}{2}d+4+2d=5$$

-\frac{3d}{2} санын 2d санына қосу.

$$\frac{1}{2}d+4=5$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}d=1$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$d=2$$

a=-\frac{3}{2}d+4 теңдеуінде 2 мәнін d мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{3}{2}\times 2+4$$

-\frac{3}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$a=-3+4$$

4 санын -3 санына қосу.

$$a=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=1,d=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2a+3d=8,a+2d=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 5\\-8+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

a және d матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=1,d=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2a+3d=8,a+2d=5$$

2a және a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2a+3d=8,2a+2\times 2d=2\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$2a+3d=8,2a+4d=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2a+4d=10 мәнін 2a+3d=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$2a-2a+3d-4d=8-10$$

2a санын -2a санына қосу. 2a және -2a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3d-4d=8-10$$

3d санын -4d санына қосу.

$$-d=8-10$$

8 санын -10 санына қосу.

$$-d=-2$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$d=2$$

a+2d=5 теңдеуінде 2 мәнін d мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a+2\times 2=5$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$a+4=5$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$a=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=1,d=2$$