{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

X, Y мәнін табыңыз

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2 қосу.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} мәнін алу үшін, \frac{1}{2} және 2 мәндерін қосыңыз.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 8 мәнін Y-\frac{1}{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 мәнін X+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 мәнін алу үшін, 9 мәнінен 4 мәнін алып тастаңыз.

$$8Y-4=9X+5$$

Екі жағынан да 9X мәнін қысқартыңыз.

$$8Y-4-9X=5$$

Екі жағына 4 қосу.

$$8Y-9X=5+4$$

9 мәнін алу үшін, 5 және 4 мәндерін қосыңыз.

$$8Y-9X=9$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және X мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы X мәнін шешіңіз.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан 4Y санын алып тастаңыз.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

\frac{1}{2} санын -4Y+\frac{5}{2} санына көбейтіңіз.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде -2Y+\frac{5}{4} мәнін X мәнімен ауыстырыңыз, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-9 санын -2Y+\frac{5}{4} санына көбейтіңіз.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

18Y санын 8Y санына қосу.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{45}{4} санын қосыңыз.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Екі жағын да 26 санына бөліңіз.

$$Y=\frac{81}{104}$$

X=-2Y+\frac{5}{4} теңдеуінде \frac{81}{104} мәнін Y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, X мәнін тікелей таба аласыз.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

-2 санын \frac{81}{104} санына көбейтіңіз.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне -\frac{81}{52} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2 қосу.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} мәнін алу үшін, \frac{1}{2} және 2 мәндерін қосыңыз.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 8 мәнін Y-\frac{1}{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 мәнін X+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 мәнін алу үшін, 9 мәнінен 4 мәнін алып тастаңыз.

$$8Y-4=9X+5$$

Екі жағынан да 9X мәнін қысқартыңыз.

$$8Y-4-9X=5$$

Екі жағына 4 қосу.

$$8Y-9X=5+4$$

9 мәнін алу үшін, 5 және 4 мәндерін қосыңыз.

$$8Y-9X=9$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

X және Y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2 қосу.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} мәнін алу үшін, \frac{1}{2} және 2 мәндерін қосыңыз.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 8 мәнін Y-\frac{1}{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 мәнін X+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 мәнін алу үшін, 9 мәнінен 4 мәнін алып тастаңыз.

$$8Y-4=9X+5$$

Екі жағынан да 9X мәнін қысқартыңыз.

$$8Y-4-9X=5$$

Екі жағына 4 қосу.

$$8Y-9X=5+4$$

9 мәнін алу үшін, 5 және 4 мәндерін қосыңыз.

$$8Y-9X=9$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X және -9X мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -18X+16Y=18 мәнін -18X-36Y=-\frac{45}{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18X санын 18X санына қосу. -18X және 18X мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-36Y санын -16Y санына қосу.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-\frac{45}{2} санын -18 санына қосу.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Екі жағын да -52 санына бөліңіз.

$$Y=\frac{81}{104}$$

-9X+8Y=9 теңдеуінде \frac{81}{104} мәнін Y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, X мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

8 санын \frac{81}{104} санына көбейтіңіз.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{81}{13} санын алып тастаңыз.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$