{l}{18x-16y=-312}{78x-16y=408} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 16 y = - 312 } \\ { 78 x - 16 y = 408 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=12$$

$$y=33$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$18x-16y=-312$$

Теңдеудің екі жағына да 16y санын қосыңыз.

$$18x=16y-312$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{18}\left(16y-312\right)$$

\frac{1}{18} санын 16y-312 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{8y}{9}-\frac{52}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 78x-16y=408.

$$78\left(\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}\right)-16y=408$$

78 санын \frac{8y}{9}-\frac{52}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{208}{3}y-1352-16y=408$$

\frac{208y}{3} санын -16y санына қосу.

$$\frac{160}{3}y-1352=408$$

Теңдеудің екі жағына да 1352 санын қосыңыз.

$$\frac{160}{3}y=1760$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{160}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=33$$

x=\frac{8}{9}y-\frac{52}{3} теңдеуінде 33 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{8}{9}\times 33-\frac{52}{3}$$

\frac{8}{9} санын 33 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{88-52}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{52}{3} бөлшегіне \frac{88}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=33$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}&-\frac{-16}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}\\-\frac{78}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}&\frac{18}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{60}&\frac{1}{60}\\-\frac{13}{160}&\frac{3}{160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{60}\left(-312\right)+\frac{1}{60}\times 408\\-\frac{13}{160}\left(-312\right)+\frac{3}{160}\times 408\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\33\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=12,y=33$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 78x-16y=408 мәнін 18x-16y=-312 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-78x-16y+16y=-312-408$$

-16y санын 16y санына қосу. -16y және 16y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18x-78x=-312-408$$

18x санын -78x санына қосу.

$$-60x=-312-408$$

-312 санын -408 санына қосу.

$$-60x=-720$$

Екі жағын да -60 санына бөліңіз.

$$x=12$$

78x-16y=408 теңдеуінде 12 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$78\times 12-16y=408$$

78 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$936-16y=408$$

Теңдеудің екі жағынан 936 санын алып тастаңыз.

$$-16y=-528$$

Екі жағын да -16 санына бөліңіз.

$$y=33$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=33$$