{l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$16x-10y=10$$

Теңдеудің екі жағына да 10y санын қосыңыз.

$$16x=10y+10$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

\frac{1}{16} санын 10+10y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+5y}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

-8 санын \frac{5+5y}{8} санына көбейтіңіз.

$$-5y-5-6y=6$$

-5y санын -6y санына қосу.

$$-11y-5=6$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$-11y=11$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

\frac{5}{8} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{8} бөлшегіне -\frac{5}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

16x және -8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 16 санына көбейтіңіз.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -128x-96y=96 мәнін -128x+80y=-80 мәнінен алып тастаңыз.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

-128x санын 128x санына қосу. -128x және 128x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$80y+96y=-80-96$$

80y санын 96y санына қосу.

$$176y=-80-96$$

-80 санын -96 санына қосу.

$$176y=-176$$

Екі жағын да 176 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

-8x-6y=6 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

-6 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$-8x+6=6$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-8x=0$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-1$$