{l}{15x+15y=15}{17x+18y=19} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 15 y = 15 } \\ { 17 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$15x+15y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 15y санын алып тастаңыз.

$$15x=-15y+15$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{15}\left(-15y+15\right)$$

\frac{1}{15} санын -15y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+1$$

Басқа теңдеуде -y+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 17x+18y=19.

$$17\left(-y+1\right)+18y=19$$

17 санын -y+1 санына көбейтіңіз.

$$-17y+17+18y=19$$

-17y санын 18y санына қосу.

$$y+17=19$$

Теңдеудің екі жағынан 17 санын алып тастаңыз.

$$y=2$$

x=-y+1 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2+1$$

1 санын -2 санына қосу.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{15\times 18-15\times 17}&-\frac{15}{15\times 18-15\times 17}\\-\frac{17}{15\times 18-15\times 17}&\frac{15}{15\times 18-15\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-1\\-\frac{17}{15}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 15-19\\-\frac{17}{15}\times 15+19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

15x және 17x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 17 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 15 санына көбейтіңіз.

$$17\times 15x+17\times 15y=17\times 15,15\times 17x+15\times 18y=15\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$255x+255y=255,255x+270y=285$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 255x+270y=285 мәнін 255x+255y=255 мәнінен алып тастаңыз.

$$255x-255x+255y-270y=255-285$$

255x санын -255x санына қосу. 255x және -255x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$255y-270y=255-285$$

255y санын -270y санына қосу.

$$-15y=255-285$$

255 санын -285 санына қосу.

$$-15y=-30$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=2$$

17x+18y=19 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$17x+18\times 2=19$$

18 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$17x+36=19$$

Теңдеудің екі жағынан 36 санын алып тастаңыз.

$$17x=-17$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=2$$