{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$15x+107y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 107y санын алып тастаңыз.

$$15x=-107y+1$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

\frac{1}{15} санын -107y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Басқа теңдеуде \frac{-107y+1}{15} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

71 санын \frac{-107y+1}{15} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

-\frac{7597y}{15} санын 179y санына қосу.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{71}{15} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{4912}{15} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{547}{614}$$

x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15} теңдеуінде \frac{547}{614} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{547}{614} санын -\frac{107}{15} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{15} бөлшегіне -\frac{58529}{9210} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x және 71x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 71 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 15 санына көбейтіңіз.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Қысқартыңыз.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 1065x+2685y=-4305 мәнін 1065x+7597y=71 мәнінен алып тастаңыз.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

1065x санын -1065x санына қосу. 1065x және -1065x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7597y-2685y=71+4305$$

7597y санын -2685y санына қосу.

$$4912y=71+4305$$

71 санын 4305 санына қосу.

$$4912y=4376$$

Екі жағын да 4912 санына бөліңіз.

$$y=\frac{547}{614}$$

71x+179y=-287 теңдеуінде \frac{547}{614} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

179 санын \frac{547}{614} санына көбейтіңіз.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{97913}{614} санын алып тастаңыз.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Екі жағын да 71 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$