{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$12x+4y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$12x=-4y+6$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12} санын -4y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9 санын -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

-3y санын 16y санына қосу.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{7}{26} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{26} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{7}{78} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{16}{39}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x және 9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 12 санына көбейтіңіз.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 108x+192y=96 мәнін 108x+36y=54 мәнінен алып тастаңыз.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

108x санын -108x санына қосу. 108x және -108x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y-192y=54-96$$

36y санын -192y санына қосу.

$$-156y=54-96$$

54 санын -96 санына қосу.

$$-156y=-42$$

Екі жағын да -156 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8 теңдеуінде \frac{7}{26} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16 санын \frac{7}{26} санына көбейтіңіз.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{56}{13} санын алып тастаңыз.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{16}{39}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$