{l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a=-1$$

$$b=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$12a+4b=-4$$

Теңдеудің екі жағынан 4b санын алып тастаңыз.

$$12a=-4b-4$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

\frac{1}{12} санын -4b-4 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-b-1}{3} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

3 санын \frac{-b-1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-b-1-9b=-21$$

-b санын -9b санына қосу.

$$-10b-1=-21$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$-10b=-20$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} теңдеуінде 2 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{2}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=-1,b=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=-1,b=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a және 3a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 12 санына көбейтіңіз.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Қысқартыңыз.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 36a-108b=-252 мәнін 36a+12b=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

36a санын -36a санына қосу. 36a және -36a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12b+108b=-12+252$$

12b санын 108b санына қосу.

$$120b=-12+252$$

-12 санын 252 санына қосу.

$$120b=240$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$b=2$$

3a-9b=-21 теңдеуінде 2 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$3a-9\times 2=-21$$

-9 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$3a-18=-21$$

Теңдеудің екі жағына да 18 санын қосыңыз.

$$3a=-3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=-1,b=2$$