{l}{11x-9y=-4}{6x-5y=-3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x - 9 y = - 4 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$11x-9y=-4,6x-5y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$11x-9y=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 9y санын қосыңыз.

$$11x=9y-4$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{11}\left(9y-4\right)$$

\frac{1}{11} санын 9y-4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9}{11}y-\frac{4}{11}$$

Басқа теңдеуде \frac{9y-4}{11} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-5y=-3.

$$6\left(\frac{9}{11}y-\frac{4}{11}\right)-5y=-3$$

6 санын \frac{9y-4}{11} санына көбейтіңіз.

$$\frac{54}{11}y-\frac{24}{11}-5y=-3$$

\frac{54y}{11} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{1}{11}y-\frac{24}{11}=-3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{24}{11} санын қосыңыз.

$$-\frac{1}{11}y=-\frac{9}{11}$$

Екі жағын да -11 мәніне көбейтіңіз.

$$y=9$$

x=\frac{9}{11}y-\frac{4}{11} теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{9}{11}\times 9-\frac{4}{11}$$

\frac{9}{11} санын 9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{81-4}{11}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{4}{11} бөлшегіне \frac{81}{11} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$11x-9y=-4,6x-5y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-9\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}&-\frac{-9}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}\\-\frac{6}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}&\frac{11}{11\left(-5\right)-\left(-9\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-9\\6&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\left(-4\right)-9\left(-3\right)\\6\left(-4\right)-11\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$11x-9y=-4,6x-5y=-3$$

11x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 11 санына көбейтіңіз.

$$6\times 11x+6\left(-9\right)y=6\left(-4\right),11\times 6x+11\left(-5\right)y=11\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$66x-54y=-24,66x-55y=-33$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 66x-55y=-33 мәнін 66x-54y=-24 мәнінен алып тастаңыз.

$$66x-66x-54y+55y=-24+33$$

66x санын -66x санына қосу. 66x және -66x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-54y+55y=-24+33$$

-54y санын 55y санына қосу.

$$y=-24+33$$

-24 санын 33 санына қосу.

$$y=9$$

6x-5y=-3 теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-5\times 9=-3$$

-5 санын 9 санына көбейтіңіз.

$$6x-45=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 45 санын қосыңыз.

$$6x=42$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=9$$