{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-28$$

$$y=63$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$11x+5y=7$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$11x=-5y+7$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{11} санын -5y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+7}{11} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

6 санын \frac{-5y+7}{11} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

-\frac{30y}{11} санын 3y санына қосу.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{42}{11} санын алып тастаңыз.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{11} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} теңдеуінде 63 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

-\frac{5}{11} санын 63 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{11} бөлшегіне -\frac{315}{11} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-28$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-28,y=63$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-28,y=63$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 11 санына көбейтіңіз.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Қысқартыңыз.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 66x+33y=231 мәнін 66x+30y=42 мәнінен алып тастаңыз.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

66x санын -66x санына қосу. 66x және -66x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$30y-33y=42-231$$

30y санын -33y санына қосу.

$$-3y=42-231$$

42 санын -231 санына қосу.

$$-3y=-189$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=63$$

6x+3y=21 теңдеуінде 63 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+3\times 63=21$$

3 санын 63 санына көбейтіңіз.

$$6x+189=21$$

Теңдеудің екі жағынан 189 санын алып тастаңыз.

$$6x=-168$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-28$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-28,y=63$$