{l}{10x-6y=22}{8x+y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x - 6 y = 22 } \\ { 8 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{23}{29}\approx 0.793103448$$

$$y = -\frac{68}{29} = -2\frac{10}{29} \approx -2.344827586$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x-6y=22$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$10x=6y+22$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(6y+22\right)$$

\frac{1}{10} санын 6y+22 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+11}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+y=4.

$$8\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)+y=4$$

8 санын \frac{3y+11}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{24}{5}y+\frac{88}{5}+y=4$$

\frac{24y}{5} санын y санына қосу.

$$\frac{29}{5}y+\frac{88}{5}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{88}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{29}{5}y=-\frac{68}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{29}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{68}{29}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} теңдеуінде -\frac{68}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{68}{29}\right)+\frac{11}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{68}{29} санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{204}{145}+\frac{11}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{5} бөлшегіне -\frac{204}{145} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{23}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{10-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{10-\left(-6\times 8\right)}&\frac{10}{10-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{58}&\frac{3}{29}\\-\frac{4}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{58}\times 22+\frac{3}{29}\times 4\\-\frac{4}{29}\times 22+\frac{5}{29}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{29}\\-\frac{68}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

10x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына көбейтіңіз.

$$8\times 10x+8\left(-6\right)y=8\times 22,10\times 8x+10y=10\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$80x-48y=176,80x+10y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 80x+10y=40 мәнін 80x-48y=176 мәнінен алып тастаңыз.

$$80x-80x-48y-10y=176-40$$

80x санын -80x санына қосу. 80x және -80x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-48y-10y=176-40$$

-48y санын -10y санына қосу.

$$-58y=176-40$$

176 санын -40 санына қосу.

$$-58y=136$$

Екі жағын да -58 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{68}{29}$$

8x+y=4 теңдеуінде -\frac{68}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x-\frac{68}{29}=4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{68}{29} санын қосыңыз.

$$8x=\frac{184}{29}$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{23}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$