{l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x+4y=-12$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$10x=-4y-12$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

\frac{1}{10} санын -4y-12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y-6}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x-5y=1.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

-9 санын \frac{-2y-6}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

\frac{18y}{5} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{54}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

-\frac{2}{5} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{6}{5} бөлшегіне -\frac{14}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

10x және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына көбейтіңіз.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

Қысқартыңыз.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -90x-50y=10 мәнін -90x-36y=108 мәнінен алып тастаңыз.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

-90x санын 90x санына қосу. -90x және 90x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-36y+50y=108-10$$

-36y санын 50y санына қосу.

$$14y=108-10$$

108 санын -10 санына қосу.

$$14y=98$$

Екі жағын да 14 санына бөліңіз.

$$y=7$$

-9x-5y=1 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x-5\times 7=1$$

-5 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$-9x-35=1$$

Теңдеудің екі жағына да 35 санын қосыңыз.

$$-9x=36$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=7$$