{l}{10x+2y=50}{7x+2y=20} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=-25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x+2y=50$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$10x=-2y+50$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{10} санын -2y+50 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{5}+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

7 санын -\frac{y}{5}+5 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

-\frac{7y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

Теңдеудің екі жағынан 35 санын алып тастаңыз.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-25$$

x=-\frac{1}{5}y+5 теңдеуінде -25 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

-\frac{1}{5} санын -25 санына көбейтіңіз.

$$x=5+5$$

5 санын 5 санына қосу.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-25$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=-25$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 7x+2y=20 мәнін 10x+2y=50 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

2y санын -2y санына қосу. 2y және -2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10x-7x=50-20$$

10x санын -7x санына қосу.

$$3x=50-20$$

50 санын -20 санына қосу.

$$3x=30$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=10$$

7x+2y=20 теңдеуінде 10 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$7\times 10+2y=20$$

7 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$70+2y=20$$

Теңдеудің екі жағынан 70 санын алып тастаңыз.

$$2y=-50$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-25$$