{l}{1x+4y=280}{4x+1y=124} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+4y=280$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$x=-4y+280$$

Басқа теңдеуде -4y+280 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

4 санын -4y+280 санына көбейтіңіз.

$$-16y+1120+y=124$$

-16y санын y санына қосу.

$$-15y+1120=124$$

Теңдеудің екі жағынан 1120 санын алып тастаңыз.

$$-15y=-996$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{332}{5}$$

x=-4y+280 теңдеуінде \frac{332}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

-4 санын \frac{332}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

280 санын -\frac{1328}{5} санына қосу.

$$x=\frac{72}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

Қысқартыңыз.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+y=124 мәнін 4x+16y=1120 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16y-y=1120-124$$

16y санын -y санына қосу.

$$15y=1120-124$$

1120 санын -124 санына қосу.

$$15y=996$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{332}{5}$$

4x+y=124 теңдеуінде \frac{332}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{332}{5} санын алып тастаңыз.

$$4x=\frac{288}{5}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{72}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$