{l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$0.5x+y=9$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$0.5x=-y+9$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

2 санын -y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+18$$

Басқа теңдеуде -2y+18 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

1.6 санын -2y+18 санына көбейтіңіз.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

-\frac{16y}{5} санын \frac{y}{5} санына қосу.

$$-3y+28.8=13$$

Теңдеудің екі жағынан 28.8 санын алып тастаңыз.

$$-3y=-15.8$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{79}{15}$$

x=-2y+18 теңдеуінде \frac{79}{15} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

-2 санын \frac{79}{15} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

18 санын -\frac{158}{15} санына қосу.

$$x=\frac{112}{15}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} және \frac{8x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1.6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.5 санына көбейтіңіз.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 0.8x+0.1y=6.5 мәнін 0.8x+1.6y=14.4 мәнінен алып тастаңыз.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

\frac{4x}{5} санын -\frac{4x}{5} санына қосу. \frac{4x}{5} және -\frac{4x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

\frac{8y}{5} санын -\frac{y}{10} санына қосу.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 14.4 бөлшегіне -6.5 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$1.5y=7.9$$

Теңдеудің екі жағын да 1.5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{79}{15}$$

1.6x+0.2y=13 теңдеуінде \frac{79}{15} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{79}{15} санын 0.2 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{79}{75} санын алып тастаңыз.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Теңдеудің екі жағын да 1.6 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{112}{15}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$