{l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

x_3, x_2 мәнін табыңыз

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x_{3} мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x_{3} мәнін шешіңіз.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4x_{2}}{25} санын алып тастаңыз.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

Теңдеудің екі жағын да 0.041 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

\frac{1000}{41} санын -\frac{4x_{2}}{25}+0.9 санына көбейтіңіз.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

Басқа теңдеуде \frac{-160x_{2}+900}{41} мәнін x_{3} мәнімен ауыстырыңыз, -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

-0.002 санын \frac{-160x_{2}+900}{41} санына көбейтіңіз.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{8x_{2}}{1025} санын \frac{41x_{2}}{1000} санына қосу.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{205} санын қосыңыз.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2001}{41000} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} теңдеуінде \frac{2199}{667} мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{3} мәнін тікелей таба аласыз.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2199}{667} санын -\frac{160}{41} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{900}{41} бөлшегіне -\frac{351840}{27347} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

x_{3} және x_{2} матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} және -\frac{x_{3}}{500} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -0.002 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.041 санына көбейтіңіз.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

Қысқартыңыз.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 мәнін -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 мәнінен алып тастаңыз.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{41x_{3}}{500000} санын \frac{41x_{3}}{500000} санына қосу. -\frac{41x_{3}}{500000} және \frac{41x_{3}}{500000} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{x_{2}}{3125} санын -\frac{1681x_{2}}{1000000} санына қосу.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -0.0018 бөлшегіне -0.004797 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

Теңдеудің екі жағын да -0.002001 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 теңдеуінде \frac{2199}{667} мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{3} мәнін тікелей таба аласыз.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2199}{667} санын 0.041 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{90159}{667000} санын алып тастаңыз.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

Екі жағын да -500 мәніне көбейтіңіз.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$