{l}{-x-2y=9}{3x-2y=21} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-x-2y=9$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$-x=2y+9$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

-1 санын 2y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y-9$$

Басқа теңдеуде -2y-9 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=21.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

3 санын -2y-9 санына көбейтіңіз.

$$-6y-27-2y=21$$

-6y санын -2y санына қосу.

$$-8y-27=21$$

Теңдеудің екі жағына да 27 санын қосыңыз.

$$-8y=48$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

x=-2y-9 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

-2 санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=12-9$$

-9 санын 12 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-2y=21 мәнін -x-2y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

-2y санын 2y санына қосу. -2y және 2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-x-3x=9-21$$

-x санын -3x санына қосу.

$$-4x=9-21$$

9 санын -21 санына қосу.

$$-4x=-12$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=3$$

3x-2y=21 теңдеуінде 3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$3\times 3-2y=21$$

3 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$9-2y=21$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$-2y=12$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-6$$