{l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-x+5y=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$-x=-5y-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

-1 санын -5y-1 санына көбейтіңіз.

$$x=5y+1$$

Басқа теңдеуде 5y+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

5y санын 2y санына қосу.

$$7y+1=5$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$7y=4$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{7}$$

x=5y+1 теңдеуінде \frac{4}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

5 санын \frac{4}{7} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

1 санын \frac{20}{7} санына қосу.

$$x=\frac{27}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

-x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына көбейтіңіз.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -x-2y=-5 мәнін -x+5y=-1 мәнінен алып тастаңыз.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

-x санын x санына қосу. -x және x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y+2y=-1+5$$

5y санын 2y санына қосу.

$$7y=-1+5$$

-1 санын 5 санына қосу.

$$7y=4$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{7}$$

x+2y=5 теңдеуінде \frac{4}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

2 санын \frac{4}{7} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{8}{7} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{27}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$