{l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=-5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-9x-7y=17$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$-9x=7y+17$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

-\frac{1}{9} санын 7y+17 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7y-17}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

10 санын \frac{-7y-17}{9} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

-\frac{70y}{9} санын 7y санына қосу.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{170}{9} санын қосыңыз.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-5$$

x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9} теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

-\frac{7}{9} санын -5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{17}{9} бөлшегіне \frac{35}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=-5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

-9x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына көбейтіңіз.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -90x-63y=135 мәнін -90x-70y=170 мәнінен алып тастаңыз.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

-90x санын 90x санына қосу. -90x және 90x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-70y+63y=170-135$$

-70y санын 63y санына қосу.

$$-7y=170-135$$

170 санын -135 санына қосу.

$$-7y=35$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=-5$$

10x+7y=-15 теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

7 санын -5 санына көбейтіңіз.

$$10x-35=-15$$

Теңдеудің екі жағына да 35 санын қосыңыз.

$$10x=20$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-5$$