{l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-9x+6y=13$$

Теңдеудің екі жағынан 6y санын алып тастаңыз.

$$-9x=-6y+13$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-\frac{1}{9} санын -6y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

c санын \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

\frac{2cy}{3} санын 8y санына қосу.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{13c}{9} санын қосыңыз.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Екі жағын да \frac{2c}{3}+8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9} теңдеуінде \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{2}{3} санын \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

-\frac{13}{9} санын \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)} санына қосу.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x және cx мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді c санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына көбейтіңіз.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-9c\right)x-72y=108 мәнін \left(-9c\right)x+6cy=13c мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

-9cx санын 9cx санына қосу. -9cx және 9cx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6cy+72y=13c-108$$

6cy санын 72y санына қосу.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Екі жағын да 72+6c санына бөліңіз.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12 теңдеуінде \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

8 санын \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} санына көбейтіңіз.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} санын алып тастаңыз.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Екі жағын да c санына бөліңіз.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$