{l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=-5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-8x-6y=30$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$-8x=6y+30$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

-\frac{1}{8} санын 30+6y санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-15}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -6x+2y=-10.

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

-6 санын \frac{-3y-15}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

\frac{9y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{45}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-5$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4} теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

-\frac{3}{4} санын -5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{15}{4} бөлшегіне \frac{15}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=-5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

-8x және -6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына көбейтіңіз.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

Қысқартыңыз.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 48x-16y=80 мәнін 48x+36y=-180 мәнінен алып тастаңыз.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

48x санын -48x санына қосу. 48x және -48x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y+16y=-180-80$$

36y санын 16y санына қосу.

$$52y=-180-80$$

-180 санын -80 санына қосу.

$$52y=-260$$

Екі жағын да 52 санына бөліңіз.

$$y=-5$$

-6x+2y=-10 теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

2 санын -5 санына көбейтіңіз.

$$-6x-10=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$-6x=0$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-5$$