{l}{-8x-6y=-10}{x-y=17} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=-9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-8x-6y=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$-8x=6y-10$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

-\frac{1}{8} санын 6y-10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

-\frac{3y}{4} санын -y санына қосу.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{4} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-9$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} санын -9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне \frac{27}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=-9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=-9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

-8x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына көбейтіңіз.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

Қысқартыңыз.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8x+8y=-136 мәнін -8x-6y=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

-8x санын 8x санына қосу. -8x және 8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-8y=-10+136$$

-6y санын -8y санына қосу.

$$-14y=-10+136$$

-10 санын 136 санына қосу.

$$-14y=126$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=-9$$

x-y=17 теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\left(-9\right)=17$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=-9$$