{l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-8x+7y=13$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$-8x=-7y+13$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

-\frac{1}{8} санын -7y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y-13}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

7 санын \frac{7y-13}{8} санына көбейтіңіз.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

\frac{49y}{8} санын -9y санына қосу.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{91}{8} санын қосыңыз.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{23}{8} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

\frac{7}{8} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{13}{8} бөлшегіне \frac{21}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

-8x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына көбейтіңіз.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -56x+72y=160 мәнін -56x+49y=91 мәнінен алып тастаңыз.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

-56x санын 56x санына қосу. -56x және 56x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$49y-72y=91-160$$

49y санын -72y санына қосу.

$$-23y=91-160$$

91 санын -160 санына қосу.

$$-23y=-69$$

Екі жағын да -23 санына бөліңіз.

$$y=3$$

7x-9y=-20 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-9\times 3=-20$$

-9 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$7x-27=-20$$

Теңдеудің екі жағына да 27 санын қосыңыз.

$$7x=7$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=3$$