{l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-7x-8y=-2$$

Теңдеудің екі жағына да 8y санын қосыңыз.

$$-7x=8y-2$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

-\frac{1}{7} санын 8y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-8y+2}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x+8y=26.

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

-5 санын \frac{-8y+2}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

\frac{40y}{7} санын 8y санына қосу.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10}{7} санын қосыңыз.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{96}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

-\frac{8}{7} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{7} бөлшегіне -\frac{16}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

-7x және -5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -7 санына көбейтіңіз.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

Қысқартыңыз.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35x-56y=-182 мәнін 35x+40y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

35x санын -35x санына қосу. 35x және -35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$40y+56y=10+182$$

40y санын 56y санына қосу.

$$96y=10+182$$

10 санын 182 санына қосу.

$$96y=192$$

Екі жағын да 96 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-5x+8y=26 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x+8\times 2=26$$

8 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-5x+16=26$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$-5x=10$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=2$$