{l}{-6x+10y=28}{7x-10y=-21} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 10 y = 28 } \\ { 7 x - 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-6x+10y=28$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$-6x=-10y+28$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-10y+28\right)$$

-\frac{1}{6} санын -10y+28 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y-14}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-10y=-21.

$$7\left(\frac{5}{3}y-\frac{14}{3}\right)-10y=-21$$

7 санын \frac{5y-14}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{35}{3}y-\frac{98}{3}-10y=-21$$

\frac{35y}{3} санын -10y санына қосу.

$$\frac{5}{3}y-\frac{98}{3}=-21$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{98}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=\frac{5}{3}y-\frac{14}{3} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\times 7-\frac{14}{3}$$

\frac{5}{3} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{35-14}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{14}{3} бөлшегіне \frac{35}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&10\\7&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{10}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\\-\frac{7}{-6\left(-10\right)-10\times 7}&-\frac{6}{-6\left(-10\right)-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{7}{10}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28-21\\\frac{7}{10}\times 28+\frac{3}{5}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-6x+10y=28,7x-10y=-21$$

-6x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -6 санына көбейтіңіз.

$$7\left(-6\right)x+7\times 10y=7\times 28,-6\times 7x-6\left(-10\right)y=-6\left(-21\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-42x+70y=196,-42x+60y=126$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -42x+60y=126 мәнін -42x+70y=196 мәнінен алып тастаңыз.

$$-42x+42x+70y-60y=196-126$$

-42x санын 42x санына қосу. -42x және 42x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$70y-60y=196-126$$

70y санын -60y санына қосу.

$$10y=196-126$$

196 санын -126 санына қосу.

$$10y=70$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=7$$

7x-10y=-21 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-10\times 7=-21$$

-10 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$7x-70=-21$$

Теңдеудің екі жағына да 70 санын қосыңыз.

$$7x=49$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=7$$