{l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$-5y+8x=-18$$

Теңдеудің екі жағынан 8x санын алып тастаңыз.

$$-5y=-8x-18$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-\frac{1}{5} санын -8x-18 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{8x+18}{5} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5 санын \frac{8x+18}{5} санына көбейтіңіз.

$$8x+18+2x=58$$

8x санын 2x санына қосу.

$$10x+18=58$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$10x=40$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=4$$

y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

\frac{8}{5} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{18}{5} бөлшегіне \frac{32}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=10,x=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=10,x=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y және 5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына көбейтіңіз.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Қысқартыңыз.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -25y-10x=-290 мәнін -25y+40x=-90 мәнінен алып тастаңыз.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

-25y санын 25y санына қосу. -25y және 25y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$40x+10x=-90+290$$

40x санын 10x санына қосу.

$$50x=-90+290$$

-90 санын 290 санына қосу.

$$50x=200$$

Екі жағын да 50 санына бөліңіз.

$$x=4$$

5y+2x=58 теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y+2\times 4=58$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$5y+8=58$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$5y=50$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=10,x=4$$