{l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-5x+10y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$-5x=-10y+15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

-\frac{1}{5} санын -10y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=2y-3$$

Басқа теңдеуде 2y-3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x+2y=-1.

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

-5 санын 2y-3 санына көбейтіңіз.

$$-10y+15+2y=-1$$

-10y санын 2y санына қосу.

$$-8y+15=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-8y=-16$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x=2y-3 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2\times 2-3$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=4-3$$

-3 санын 4 санына қосу.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -5x+2y=-1 мәнін -5x+10y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

-5x санын 5x санына қосу. -5x және 5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-2y=15+1$$

10y санын -2y санына қосу.

$$8y=15+1$$

15 санын 1 санына қосу.

$$8y=16$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-5x+2y=-1 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x+2\times 2=-1$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-5x+4=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$-5x=-5$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$