{l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x-10y=20$$

Теңдеудің екі жағына да 10y санын қосыңыз.

$$-4x=10y+20$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

-\frac{1}{4} санын 20+10y санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}-5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

8 санын -\frac{5y}{2}-5 санына көбейтіңіз.

$$-20y-40+10y=20$$

-20y санын 10y санына қосу.

$$-10y-40=20$$

Теңдеудің екі жағына да 40 санын қосыңыз.

$$-10y=60$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{2}y-5 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

-\frac{5}{2} санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=15-5$$

-5 санын 15 санына қосу.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

-4x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына көбейтіңіз.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Қысқартыңыз.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -32x-40y=-80 мәнін -32x-80y=160 мәнінен алып тастаңыз.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

-32x санын 32x санына қосу. -32x және 32x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-80y+40y=160+80$$

-80y санын 40y санына қосу.

$$-40y=160+80$$

160 санын 80 санына қосу.

$$-40y=240$$

Екі жағын да -40 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

8x+10y=20 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

10 санын -6 санына көбейтіңіз.

$$8x-60=20$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$8x=80$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-6$$