{l}{-4x+y=6}{-5x-y=21} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x+y=6$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$-4x=-y+6$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

-\frac{1}{4} санын -y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{4}-\frac{3}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x-y=21.

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

-5 санын \frac{y}{4}-\frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

-\frac{5y}{4} санын -y санына қосу.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-6$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2} теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{4} санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{3}{2} бөлшегіне -\frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

-4x және -5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына көбейтіңіз.

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

Қысқартыңыз.

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+4y=-84 мәнін 20x-5y=-30 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-5y-4y=-30+84$$

-5y санын -4y санына қосу.

$$-9y=-30+84$$

-30 санын 84 санына қосу.

$$-9y=54$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

-5x-y=21 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-5x=15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=-6$$