{l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=9$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x+9y=9$$

Теңдеудің екі жағынан 9y санын алып тастаңыз.

$$-4x=-9y+9$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

-\frac{1}{4} санын -9y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-9+9y}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-3y=-6.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

\frac{9y}{4} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{4} санын қосыңыз.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{9}{4} бөлшегіне \frac{45}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=9,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

-4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына көбейтіңіз.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+12y=24 мәнін -4x+9y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-12y=9-24$$

9y санын -12y санына қосу.

$$-3y=9-24$$

9 санын -24 санына қосу.

$$-3y=-15$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x-3y=-6 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-3\times 5=-6$$

-3 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x-15=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=5$$