{l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x+3y=-5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$-4x=-3y-5$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

-\frac{1}{4} санын -3y-5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+5}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -7x+3y=-20.

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

-7 санын \frac{3y+5}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

-\frac{21y}{4} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{35}{4} санын қосыңыз.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

\frac{3}{4} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{15+5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне \frac{15}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -7x+3y=-20 мәнін -4x+3y=-5 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4x+7x=-5+20$$

-4x санын 7x санына қосу.

$$3x=-5+20$$

-5 санын 20 санына қосу.

$$3x=15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=5$$

-7x+3y=-20 теңдеуінде 5 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-7\times 5+3y=-20$$

-7 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$-35+3y=-20$$

Теңдеудің екі жағына да 35 санын қосыңыз.

$$3y=15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=5$$