{l}{-3x+y=8}{-8x+2y=20} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 8 } \\ { - 8 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-3x+y=8$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$-3x=-y+8$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+8\right)$$

-\frac{1}{3} санын -y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-8+y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -8x+2y=20.

$$-8\left(\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}\right)+2y=20$$

-8 санын \frac{-8+y}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{64}{3}+2y=20$$

-\frac{8y}{3} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{64}{3}=20$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{64}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

\frac{1}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2-8}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{8}{3} бөлшегіне \frac{2}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\4&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8-\frac{1}{2}\times 20\\4\times 8-\frac{3}{2}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

-3x және -8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына көбейтіңіз.

$$-8\left(-3\right)x-8y=-8\times 8,-3\left(-8\right)x-3\times 2y=-3\times 20$$

Қысқартыңыз.

$$24x-8y=-64,24x-6y=-60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24x-6y=-60 мәнін 24x-8y=-64 мәнінен алып тастаңыз.

$$24x-24x-8y+6y=-64+60$$

24x санын -24x санына қосу. 24x және -24x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-8y+6y=-64+60$$

-8y санын 6y санына қосу.

$$-2y=-64+60$$

-64 санын 60 санына қосу.

$$-2y=-4$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-8x+2y=20 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-8x+2\times 2=20$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-8x+4=20$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$-8x=16$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=2$$