{l}{-3x+4y=-6}{5x-y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 4 y = - 6 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-3x+4y=-6$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$-3x=-4y-6$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

-\frac{1}{3} санын -4y-6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{4y}{3}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-y=10.

$$5\left(\frac{4}{3}y+2\right)-y=10$$

5 санын \frac{4y}{3}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{20}{3}y+10-y=10$$

\frac{20y}{3} санын -y санына қосу.

$$\frac{17}{3}y+10=10$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$\frac{17}{3}y=0$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{17}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=0$$

x=\frac{4}{3}y+2 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\left(-6\right)+\frac{4}{17}\times 10\\\frac{5}{17}\left(-6\right)+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

-3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына көбейтіңіз.

$$5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-6\right),-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$-15x+20y=-30,-15x+3y=-30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -15x+3y=-30 мәнін -15x+20y=-30 мәнінен алып тастаңыз.

$$-15x+15x+20y-3y=-30+30$$

-15x санын 15x санына қосу. -15x және 15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y-3y=-30+30$$

20y санын -3y санына қосу.

$$17y=-30+30$$

-30 санын 30 санына қосу.

$$17y=0$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$y=0$$

5x-y=10 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x=10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=0$$