{l}{-2x+y=-1}{4x-y=-3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 1 } \\ { 4 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x+y=-1$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$-2x=-y-1$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

-\frac{1}{2} санын -y-1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{1+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-y=-3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=-3$$

4 санын \frac{1+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$2y+2-y=-3$$

2y санын -y санына қосу.

$$y+2=-3$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} санын -5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{5}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\2\left(-1\right)-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=-5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

-2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$4\left(-2\right)x+4y=4\left(-1\right),-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-8x+4y=-4,-8x+2y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8x+2y=6 мәнін -8x+4y=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8x+8x+4y-2y=-4-6$$

-8x санын 8x санына қосу. -8x және 8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-2y=-4-6$$

4y санын -2y санына қосу.

$$2y=-4-6$$

-4 санын -6 санына қосу.

$$2y=-10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-5$$

4x-y=-3 теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-\left(-5\right)=-3$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$4x=-8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-5$$